Системы игры с монетой
Давайте будем наблюдать за игрой «орел — решка», и в соответствии с заранее выработанной нами системой будем делать одинаковые ставки, посмотрим как изменится вероятность нашего выигрыша, по отношению к тому, как если бы мы ставили ставку при каждом броске. Хорошо, что считать ничего не придется — все уже посчитано до нас, воспользуемся только выводами расчетов. Я взял расчет из книги В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложение», как на мой взгляд классического учебника по теории вероятностей. Цитирую прямо по книге.
"Печальный опыт многих игроков учит, что никакая система игры не может увеличить шансов игрока на выигрыш. Если теория вероятностей правильно отображает жизнь, то этому опыту должны соответствовать какие-то утверждения, доказуемые в рамках теории.
Чтобы разобраться в этом, рассмотрим неограниченную последовательность испытаний Бернулли (повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний ) и предположим, что перед каждым испытанием игрок может выбирать, участвует ли он на этот раз в игре или нет. «Система» и представляет собой фиксированное правило выбора тех испытаний, при которых игрок участвует в игре. Например, игрок может включиться в игру лишь при каждом седьмом испытании или же после каждого вступления в игру ожидать, пока 7 раз не выпадет решетка. Он может вступать в игру только после выпадения серии из 13 гербов или же первый раз включиться в игру после выпадения первого герба, второй раз — после первого выпадения двух последовательных гербов и вообще n-й раз после выпадения k гербов подряд. В последнем случае он будет участвовать в игре все более и более редко. Другой возможной системой является участие в игре только тогда, когда общее число выпавших с начала игры гербов превышает общее число решеток (в этом случае игрок скорее всего ожидает выпадения решетки).
Мы не будем касаться выбора размера ставок при каждом индивидуальном испытании: мы хотим показать, что никакая «система» не может изменить положение игрока и что результат будет тот же самый, как если бы он участвовал в игре при каждом испытании. Само собой разумеется, что второе утверждение может быть доказано лишь для систем в обычном смысле, когда игрок не знает заранее результата будущих испытаний. Приходится также признать, что правило «уходить домой после трех проигрышей» изменяет положение, но мы исключим такие неинтересные системы. Мы определяем систему как множество фиксированных правил, которые для каждого испытания единственным образом определяют, будет или не будет игрок участвовать в игре при этом испытании.
Мы сформулируем теперь нашу основную теорему как утверждение, что при любой системе игры последовательные испытания, при которых игрок участвует в игре, образуют последовательность испытаний Бернулли с неизменной вероятностью успеха.
При соответствующих изменениях формулировки эта теорема оказывается применимой ко всем видам независимых испытаний. Последовательность игр, в которых участвует игрок, является точной копией первоначальных испытаний, так что никакая система не может повлиять на удачу игрока. Важность этого утверждения была впервые подмечена Мизесом, который вводил невозможность успешной действующей системы игры в качестве одной из аксиом. Таким образом это значит, что при нашей системе вероятность выпадения герба в момент первого вступления в игру равна 1/2, и то же самое положение сохранится и для каждого из последующих вступлений в игру. Также вступления в игру независимы, т.е. вероятность того, что герб выпадет и в момент первого и в момент второго вступления в игру, равна 1/4 (и аналогично для всех других комбинаций и для последующих вступлений в игру).
Заметим, что положение становится другим, если игрок может произвольно изменять размер ставки, на которую он играет. При таких условиях существуют выгодные и невыгодные стратегии, и результаты игры зависят от выбора стратегии".
